前边两集主要斟酌了多项式函数，幂函数，指数函数，对数函数。这集重心望望三角函数家眷，三角函数颠倒有效，内容又十分的丰富哥要搞蝴蝶谷，对于一个函数，一般要覆按的性质，比如单调性，奇偶性，周期性，有界性等，在三角函数身上基本上王人要斟酌一遍。三角函数为啥遑急？想想傅里叶级数吧，一个函数虽然是性质越丰富越有效了，因为不错抒发的信息越多。先望望正弦和余弦函数吧：

一， 正弦和余弦函数

底下图1-0画图了正弦和余弦函数，放一齐望望这两个函数吧，正弦函数“蓝色”弧线暗意，余弦函数“红色”弧线暗意，不错看出来：

（1）正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数；（奇偶性）

（2）正弦和余弦函数王人是周期函数，最小正周期王人是2π；（周期性）

（3）正弦和余弦函数只可在[-1，1]之间变化（有界性）

（4）正弦函数比余弦函数提前π/2.

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图1-0

必须指出的是，正弦函数和余弦函数王人出自“单元圆”，单元圆上的一个点，横坐标就是余弦弦函数，纵坐标就是正弦函数，图1-1中OM=cos(x)，MN=sin(x)，正弦函数和余弦函数就像一双双胞胎昆玉相同，并莫得哪个比哪个好，sin(x+π/2)=cos(x)

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图1-1

正弦和余弦函数还有以下筹商，大约说关联：

（1）(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx

（2）∫sinxdx=-cosx+C ，∫cosxdx=sinx+C

二， 正切和余切函数

正切函数就是y=tan(x)，这个函数的界说域为x ≠ π/2 + k π，k是整数。图像如下图2-0所示，这个函数是个奇函数，所谓奇函数，就是图像对于原点对称。这个函数是个周期函数，最小正周期为T=π，这个函数在每个周期里王人是单调递加函数。这个函数有巨额条竖直渐近线，也就是说在x =π/2 + k π处（k是整数）函数趋于无尽大，不错看出在渐近线两侧它的活动相悖。这很真谛！

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图2-0

余切函数就是y=cot(x)=1/tan(x)，赫然它和正切函数互为倒数，余切函数界说域：x ≠ k π，k是整数。底下是余切函数图像。不错看出，余切函数亦然奇函数，也就是说它也对于原点对称，它亦然周期函数，最小正周期为π，在每个周期内王人是单调减函数。这个函数有巨额条竖直渐近线。

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图2-1

刻下让咱们把正切和余切函数画在一齐望望吧，若何样，是不是很融合，这两个函数其实也有一个对称轴，就是x=π/4，也就是说不错用对称的身手，知谈一个函数，对称出另外一个函数。好了，精心感受数学的好意思吧，忘掉查验！

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图2-2

上头把基本的4种三角函数画图了，但是这远远不够，请让咱们连续望望其他的三角函数吧。

三， 正割和余割函数

来来来，不要怕，毕竟他不是老虎，不会吃东谈主。“丑妻”看多了也就不丑了，有东谈主怯生生这些函数，比如正割，余割，归正切，归正割之类的函数。我想说：“怕惧的根源在于无知！”不要怕，再难的事物亦然少量一滴学习积聚起来的。

正割函数y=sec(x)=1/cos(x)，它和余弦函数互为倒数，这是值得念念考的，为什么不是正弦函数sin(x)的倒数叫正割？底下是正割函数的图像，想必有东谈主仍是背下来了，也有东谈主从来没见过，也有东谈主以为敬爱怪，其实很真谛，根柢不需要背，只需要会画余弦函数就行，先画图y=cos(x)，找到y=cos(x)的零点，这些点就是y=sec(x)的垂直渐近线，势必经由（0，1），最小值一定在y=cos(x)等于1的点，然后把柄奇偶性，周期性很快就能绘出草图，底下咱们不错看出这个函数“启齿很方”，有点像二次函数。

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图3-0

底下是余割函数图像：

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图3-1

正割和余割函数王人是周期函数，王人具有巨额条竖直渐近线，正割函数是偶函数，余割函数是奇函数！

将上头斟酌的几个函数放一齐望望呢。

四， 一图搞懂sin(x)，cos(x)，tan(x)，cot(x)，sec(x)和csc(x)的关系

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图4-0

这个图最得力的方位在于六个极点代表六个函数。有以下12个遑急论断：

(1)对角极点的函数互为倒数；（3个关系）

cot(x)=1/tan(x)

sec(x)=1/cos(x)

csc(x)=1/sin(x)

(2)每个极点的函数等于该极点相邻函数之积；(6个关系)

sin(x)=tan(x)cos(x)

cos(x)=sin(x)cot(x)

cot(x)=cos(x)csc(x)

csc(x)=cot(x)sec(x)

sec(x)=csc(x)tan(x)

tan(x)=sec(x)sin(x)

(3)倒三角的平时和等于底下极点的平时。（3个关系）

sin²α+cos²α=1

tan²α+1=sec²α

1+cot²α=csc²α

这里多说两句，最遑急的平时关系：sin²α+cos²α=1

对于上头等式，双方同期除以cos²α，就不错赢得sin²α/ cos²α +1=1/ cos²α，这个关系也就是

tan²α+1=sec²α；

如果对于上头等式，双方同期除以sin²α，就不错赢得1+ cos²α/ sin²α=1/ sin²α ，这个关系也就是1+cot²α=csc²α；

也就是说这三个平时关系内容同源！

就问你这个六边形牛不牛！

我给他起个名字吧，就叫“神奇六边形”。

有一类函数亦然十分遑急，那就是反三角函数，接下来望望反三角函数的图像吧！

五. 归正弦和反余弦函数

底下是归正弦函数，咱们知谈一个函数图像和它的反函数的图像对于y=x对称（切记这个，这是学反函数最遑急的一条！），底下图5-0就是要证明这个事实，图5-0画图了y=sin(x)和y=arcsin(x)以及y=x的函数图像。

（1）不错看到y=sin(x)和y=arcsin(x)图像对于y=x对称，

（2）不得不真贵的是反三角正弦函数的界说域为[-1，1]，反函数的界说域就是原函数的值域；

（3）y=arcsin(x)的值域为[-π/2，-π/2]，反函数的值域就是原函数的界说域；

（4）反函数和原函数具有换取的单调性，这个事实也不错从图5-0看到，他们在相应区间王人是单调增函数。

（5）反三角正弦函数y=arcsin(x)是个奇函数，意味着它对于原点对称；

（6）还有个遑急的特色就是，y=sin(x)和y=arcsin(x)在x=0隔壁基本上和y=x重合，这就是说当x弥散小的技艺，不错用y=x雷同代替y=sin(x)和y=arcsin(x)。有东谈主问弥散小是多小？当x<0.1时，sin(x)和x之间的差就仍是小于2e-4(万分之2)了，当x<0.01时，sin(x)和x之间的差就仍是小于2e-7(千万分之2)了，这仍是弥散精准了，是以世俗会看到有这么的雷同说法：当x弥散小(x≤0.01)的技艺，sin(x)≈x，arcsin(x)≈x，以致有tan(x)≈x.是不是很真谛！

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图5-0

再来望望反余弦函数y=arccos(x)，如图5-1所示，有没以为像一只在挥动翅膀的蝙蝠！对于图5-1有什么不错挖掘的信息呢？

（1）y=cos(x)和y=arccos(x)图像对于y=x对称，

（2）反余弦函数的界说域为[-1，1]，这是十分遑急的！

（3）y=arccos(x)的值域为[0，π]；

（4）反函数和原函数具有换取的单调性，这个事实也不错从图5-1看到，他们在相应区间王人是单调增函数。

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图5-1

望望底下这只挥动翅膀的蝙蝠吧！

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图5-2

六. 归正切和反余切函数

底下即是正切函数y=tan(x)和归正切函数y=arctan(x)的函数图像，看起来比拟复杂，执行上没那么难！图6-0所有这个词画图了7条弧线，主若是y=tan(x)及它的两条竖直渐近线，y=arctan(x)和它的两条水平渐近线，y=x直线。

（1）y=tan(x)和y=arctan(x)图像对于y=x对称，

（2）归正切函数的界说域为[-∞，+∞]，这赶巧是y=tan(x)的值域；

（3）y=arctan(x)的值域为(-π/2，π/2)，y=π/2和y=π/2很好是y=arctan(x)的水平渐近线;

（4）y=arctan(x)和y=tan(x)具有换取的单调性，他们在相应区间王人是单调增函数。

（5）y=arctan(x)是个奇函数。

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图6-0

再来望望底下的反余切函数，也不错看出以下论断：

（1）y=cot(x)和y=arccot(x)图像对于y=x对称，

（2）反余切函数的界说域为(-∞，+∞)，这赶巧是y=cot(x)的值域；

（3）y=arccot(x)的值域为(0，π)，y=0和y=π很好是y=arccot(x)的水平渐近线;

（4）y=arccot(x)和y=cot(x)具有换取的单调性，他们在相应区间王人是单调减函数。

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图6-1

七. 归正割和反余割函数

话说这y=arcsec(x)和y=arccsc(x)两个函数可能许多东谈主王人比拟生疏，不常打交谈，无所谓，这两个函数在数学中还瑕瑜常遑急的，先望望它们的函数图像吧！

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图7-0

也不错赢得一些论断：

（1）y=sec(x)和y=arcsec(x)图像对于y=x对称，

（2）归正割函数的界说域为(-∞，-1]∪[1，+∞)，这赶巧是y=sec(x)的值域；

（3）y=arcsec(x)的值域为[0，π]，扣掉π/2，y=π/2是y=arcsec(x)的水平渐近线;

（4）y=arcsec(x)和y=sec(x)具有换取的单调性，他们在相应区间王人是单调增函数。

底下是反余割函数的图像，论断如下：

来吧

（1）y=csc(x)和y=arccsc(x)图像对于y=x对称，

（2）反余割函数的界说域为(-∞，-1]∪[1，+∞)，这赶巧是y=csc(x)的值域；

（3）y=arccsc(x)的值域为[-π/2，π/2]，扣掉0，赶巧是y=csc(x)的界说域，何况y=0是y=arccsc(x)的水平渐近线;

（4）y=arccsc(x)和y=csc(x)具有换取的单调性，他们在相应区间王人是单调减函数。

（5）y=arccsc(x)是奇函数。

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图7-1

鸿章钜字又写了3000多字，弧线又画图了12幅图，我想三角函数的基本函数图像算是讲明晰了，我以为这些很好意思，但愿把好意思好的东西共享给公共，但愿对公共有匡助，迎接点赞，转发，储藏，谢谢！

如果想从新学习函数图像，提倡点开底下聚会：

千奇百怪的函数图像（第一集），提倡储藏磋商！

千奇百怪的函数图像（第二集）哥要搞蝴蝶谷，提倡储藏磋商！

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